Pré-calcul Exemples

$g (x) = 2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$

Étape 1

Définissez $2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$ égal à $0$ .

$2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$2 e^{x} + 6 {(e^{x})}^{- 1} - 7 = 0$

Étape 2.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$2 u + 6 u^{- 1} - 7 = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u + 6 (\frac{1}{u}) - 7 = 0$

Étape 2.3.2

Associez $6$ et $\frac{1}{u}$ .

$2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$

Étape 2.4

Résolvez $u$ .

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Étape 2.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1, 1$

Étape 2.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 2.4.2

Multiplier chaque terme dans $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ par $u$ .

$2 u \cdot u + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.2.1.1.1

Déplacez $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.2.1.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 2.4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Multipliez $0$ par $u$ .

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0$

Étape 2.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.4.3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Étape 2.4.3.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 2.4.3.1.2.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Étape 2.4.3.1.2.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 3$ plus $- 4$

$2 u^{2} + (- 3 - 4) u + 6 = 0$

Étape 2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 3 u - 4 u + 6 = 0$

Étape 2.4.3.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.3.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 3 u) - 4 u + 6 = 0$

Étape 2.4.3.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 3) - 2 (2 u - 3) = 0$

Étape 2.4.3.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u - 2) = 0$

Étape 2.4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Étape 2.4.3.3

Définissez $2 u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.4.3.3.1

Définissez $2 u - 3$ égal à $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Étape 2.4.3.3.2

Résolvez $2 u - 3 = 0$ pour $u$ .

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Étape 2.4.3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 3$

Étape 2.4.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 3$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.3.4

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.4.3.4.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 2.4.3.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 2.4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 u - 3) (u - 2) = 0$ vraie.

$u = \frac{3}{2}, 2$

Étape 2.5

Remplacez $u$ par $\frac{3}{2}$ dans $u = e^{x}$ .

$\frac{3}{2} = e^{x}$

Étape 2.6

Résolvez $\frac{3}{2} = e^{x}$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3}{2}$

Étape 2.6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 2.6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 2.6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 2.6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 2.7

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Étape 2.8

Résolvez $2 = e^{x}$ .

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Étape 2.8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Étape 2.8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Étape 2.8.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Étape 2.8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Étape 2.8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (2)$

Étape 2.9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (\frac{3}{2}), \ln (2)$

Étape 3