Pré-calcul Exemples

$g (x) = e^{x} + 12 e^{- x} - 7$

Étape 1

Définissez $e^{x} + 12 e^{- x} - 7$ égal à $0$ .

$e^{x} + 12 e^{- x} - 7 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} + 12 {(e^{x})}^{- 1} - 7 = 0$

Étape 2.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + 12 u^{- 1} - 7 = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 12 (\frac{1}{u}) - 7 = 0$

Étape 2.3.2

Associez $12$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{12}{u} - 7 = 0$

Étape 2.4

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1, 1$

Étape 2.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 2.4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{12}{u} - 7 = 0$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{12}{u} - 7 = 0$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{12}{u} u - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{12}{u} u - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{12}{u} u - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 12 - 7 u = 0 u$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Multipliez $0$ par $u$ .

$u^{2} + 12 - 7 u = 0$

Étape 2.4.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Factorisez $u^{2} + 12 - 7 u$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 2.4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Étape 2.4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 3 = 0$

Étape 2.4.3.3

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.3.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 2.4.3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 2.4.3.4

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.4.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 2.4.3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 2.4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (u - 3) = 0$ vraie.

$u = 4, 3$

Étape 2.5

Remplacez $u$ par $4$ dans $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Étape 2.6

Résolvez $4 = e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Étape 2.6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Étape 2.6.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Étape 2.6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Étape 2.6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (4)$

Étape 2.7

Remplacez $u$ par $3$ dans $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Étape 2.8

Résolvez $3 = e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Étape 2.8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Étape 2.8.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Étape 2.8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Étape 2.8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (3)$

Étape 2.9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (4), \ln (3)$

Étape 3