Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (2 x - 1)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{5} (2 y - 1) = x$ .

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{5} (2 y - 1) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y - 1$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y - 1 = 5^{x}$ .

$2 y - 1 = 5^{x}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 5^{x} + 1$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $2 y = 5^{x} + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 5^{x} + 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

Étape 4.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.5.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 4.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $5^{x} + 1 - 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $5^{x}$ et $0$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Étape 4.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

Étape 4.3.6

La base logarithmique $5$ de $5$ est $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

Étape 4.3.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$