Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (4, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 \cdot 0^{2}$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.5

Simplifiez ${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.5.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 16 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.5.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 {(0)}^{2}$

Étape 2.2.5.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 \cdot 0$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $16$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (4, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4