Pré-calcul Exemples

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ , $x - 2 y = 5$

Étape 1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5 + 2 y$

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $5 + 2 y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ par $5 + 2 y$ .

${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(5 + 2 y)}^{2}$ comme $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ .

$(5 + 2 y) (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (5 + 2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$25 + 10 y + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Additionnez $10 y$ et $10 y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.5.1

Déplacez $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 (y \cdot y) + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $20 y$ et $5 y$ .

$25 + 4 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $4 y^{2}$ et $2 y^{2}$ .

$25 + 6 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez $6 y^{2}$ et $2 y^{2}$ .

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$25 + 8 y^{2} + 25 y - 7 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.2

Soustrayez $7$ de $25$ .

$8 y^{2} + 25 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 8 \cdot 18 = 144$ et dont la somme est $b = 25$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25 y$ .

$8 y^{2} + 25 (y) + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $25$ comme $9$ plus $16$

$8 y^{2} + (9 + 16) y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(8 y^{2} + 9 y) + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $8 y + 9$ .

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.5

Définissez $8 y + 9$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $8 y + 9$ égal à $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.5.2

Résolvez $8 y + 9 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$8 y = - 9$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $8 y = - 9$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y = - 9$ par $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.6

Définissez $y + 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $y + 2$ égal à $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(8 y + 9) (y + 2) = 0$ vraie.

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{9}{8}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 5 + 2 y$ par $- \frac{9}{8}$ .

$x = 5 + 2 (- \frac{9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $5 + 2 (- \frac{9}{8})$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{8}$ dans le numérateur.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 (4)})$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 \cdot 4})$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.3

Associez $5$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{5 \cdot 4 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$x = \frac{20 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 4.2.1.5.2

Soustrayez $9$ de $20$ .

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 2$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 5 + 2 y$ par $- 2$ .

$x = 5 + 2 (- 2)$

$y = - 2$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $5 + 2 (- 2)$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = 5 - 4$

$y = - 2$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8})$

$(1, - 2)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8}), (1, - 2)$

Forme de l’équation :

$x = \frac{11}{4}, y = - \frac{9}{8}$

$x = 1, y = - 2$

Étape 8