Pré-calcul Exemples

$16 y^{2} - x^{2} + 2 x + 64 y + 63 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 64$ et $c = - x^{2} + 2 x + 63$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63))}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.4

Simplifiez

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.4.3

Multipliez $- 64$ par $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.5

Soustrayez $4032$ de $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6

Réécrivez $64 x^{2} - 128 x + 64$ en forme factorisée.

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

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Étape 1.3.1.6.1.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.1.2

Factorisez $64$ à partir de $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.1.3

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.1.4

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.1.5

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.1.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3.1.6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.7

Réécrivez $64 {(x - 1)}^{2}$ comme ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.1.10

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.4.3

Multipliez $- 64$ par $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.5

Soustrayez $4032$ de $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6

Réécrivez $64 x^{2} - 128 x + 64$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

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Étape 1.4.1.6.1.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.1.2

Factorisez $64$ à partir de $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.1.3

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.1.4

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.1.5

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.4.1.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.4.1.6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.7

Réécrivez $64 {(x - 1)}^{2}$ comme ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.1.10

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Étape 1.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 64 + 8 x - 8}{32}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun à $- 64 + 8 x - 8$ et $32$ .

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 64$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 x - 8}{32}$

Étape 1.4.4.2

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x) - 8}{32}$

Étape 1.4.4.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$y = \frac{8 \cdot - 8 + 8 (x) + 8 \cdot - 1}{32}$

Étape 1.4.4.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$y = \frac{8 (- 8) + 8 (x - 1)}{32}$

Étape 1.4.4.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 8) + 8 (x - 1)$ .

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{32}$

Étape 1.4.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.6.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Étape 1.4.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{8 (- 8 + x - 1)}{8 \cdot 4}$

Étape 1.4.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 8 + x - 1}{4}$

Étape 1.4.5

Soustrayez $1$ de $- 8$ .

$y = \frac{x - 9}{4}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 16 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 \cdot (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 - 64 (- x^{2}) - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez

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Étape 1.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 64 (2 x) - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 64 \cdot 63}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.4.3

Multipliez $- 64$ par $63$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{4096 + 64 x^{2} - 128 x - 4032}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.5

Soustrayez $4032$ de $4096$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 x^{2} - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6

Réécrivez $64 x^{2} - 128 x + 64$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2} - 128 x + 64$ .

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Étape 1.5.1.6.1.1

Factorisez $64$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) - 128 x + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.1.2

Factorisez $64$ à partir de $- 128 x$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.1.3

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (- 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.1.4

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2}) + 64 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.1.5

Factorisez $64$ à partir de $64 (x^{2} - 2 x) + 64 (1)$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.5.1.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.5.1.6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{64 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.7

Réécrivez $64 {(x - 1)}^{2}$ comme ${(8 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{- 64 \pm \sqrt{{(8 (x - 1))}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 64 \pm 8 (x - 1)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 64 \pm (8 x + 8 \cdot - 1)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.1.10

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$y = \frac{- 64 \pm (8 x - 8)}{32}$

Étape 1.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 64 - (8 x - 8)}{32}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun à $- 64 - (8 x - 8)$ et $32$ .

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Étape 1.5.4.1

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 64 - (8 x - 8)}{32}$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (64) - (8 x - 8)$ .

$y = \frac{- 1 (64 + 8 x - 8)}{32}$

Étape 1.5.4.3

Factorisez $8$ à partir de $- 1 (64 + 8 x - 8)$ .

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{32}$

Étape 1.5.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 (4)}$

Étape 1.5.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{8 (- 1 (8 + x - 1))}{8 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1 (8 + x - 1)}{4}$

Étape 1.5.5

Soustrayez $1$ de $8$ .

$y = \frac{- 1 (x + 7)}{4}$

Étape 1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

$y = \frac{x - 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{x - 9}{4}$ en deux fractions.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x + 7}{4}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{x + 7}{4}$ en deux fractions.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - (\frac{1}{4} x) - \frac{7}{4}$

Étape 8

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{4}$

Étape 9