Pré-calcul Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 16} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Étape 2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 4, - 4$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 0, 4, - 4$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{x}{x^{2} - 16}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x^{2} - 16}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 16 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 8.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 8.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 8.2.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 8.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 8.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 8.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 8.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} - 16} > 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 0.3$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 16} > 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 16} > 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 0.1\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{6}{{(6)}^{2} - 16} > 0$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $0.3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < 0$ ou $x > 4$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 4, 0) \cup (4, \infty)$

Étape 13