Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Étape 2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 9

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 3, 2$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 2, - 2$

$x = 3, 2$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = 2, - 2, 3, 2$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 13.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Étape 13.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 13.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 13.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 13.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 13.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 13.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 3, 2$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 4}{{(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 + 6} < 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $0.\overline{285714}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 4}{{(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6} < 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2.5)}^{2} - 4}{{(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6} < 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $- 9$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 4}{{(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6} < 0$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $2.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < 2$ ou $2 < x < 3$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 2, 2) \cup (2, 3)$

Étape 18