Pré-calcul Exemples

$x^{3} + x^{2} - 50 x + 48 \geq 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + x^{2} - 50 x + 48 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Étape 2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 1^{2} - 50 \cdot 1 + 48$

Étape 2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 1^{2} - 50 \cdot 1 + 48$

Étape 2.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 1 - 50 \cdot 1 + 48$

Étape 2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - 50 \cdot 1 + 48$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 50$ par $1$ .

$2 - 50 + 48$

Étape 2.1.3.6

Soustrayez $50$ de $2$ .

$- 48 + 48$

Étape 2.1.3.7

Additionnez $- 48$ et $48$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 50 x + 48}{x - 1}$

Étape 2.1.5

Divisez $x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$ par $x - 1$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$50 x$

$48$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$48 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$48 x$	+	$48$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 48 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$48$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$48 x$	+	$48$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$48$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$48 x$	+	$48$
							-	$48 x$	+	$48$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 48 x + 48$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$48$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$48 x$	+	$48$
							+	$48 x$	-	$48$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$48$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$50 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$50 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$48 x$	+	$48$
							+	$48 x$	-	$48$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 2 x - 48$

Étape 2.1.6

Écrivez $x^{3} + x^{2} - 50 x + 48$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{2} + 2 x - 48) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 48$ et dont la somme est $2$ .

$- 6, 8$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x - 6) (x + 8)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 6) (x + 8) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 6) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 1, 6, - 8$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 10)}^{3} + {(- 10)}^{2} - 50 \cdot - 10 + 48 \geq 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 352$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 48 \geq 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $48$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{3} + {(4)}^{2} - 50 \cdot 4 + 48 \geq 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 72$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{3} + {(8)}^{2} - 50 \cdot 8 + 48 \geq 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $224$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 6$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 8, 1] \cup [6, \infty)$

Étape 12