Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} + x - 12 = 0$

Étape 2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 6

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 9

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 3, - 3$

$x = 3, - 4$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = 3, - 3, 3, - 4$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + x - 12}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 13.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 13.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 13.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 13.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 13.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 13.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 13.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 9}{{(- 6)}^{2} - 6 - 12} < 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $1.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3.5$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $- 3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 3.5)}^{2} - 9}{{(- 3.5)}^{2} - 3.5 - 12} < 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 9}{{(0)}^{2} + 0 - 12} < 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $0.75$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 9}{{(6)}^{2} + 6 - 12} < 0$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $0.9$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < - 3$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 4, - 3)$

Étape 18