Pré-calcul Exemples

$\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 11 = 0$

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 3

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 11$

$x = 9$

$x = 1$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = - 11, 9, 1$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 11$

$- 11 < x < 1$

$1 < x < 9$

$x > 9$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 11$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 14) + 11) ((- 14) - 9)}{(- 14) - 1} \geq 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 4.6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 11 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((0) + 11) ((0) - 9)}{(0) - 1} \geq 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $99$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((5) + 11) ((5) - 9)}{(5) - 1} \geq 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 9.4.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((12) + 11) ((12) - 9)}{(12) - 1} \geq 0$

Étape 9.4.3

Le côté gauche $6.\overline{27}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 11$ Faux

$- 11 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

$x < - 11$ Faux

$- 11 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 11 \leq x < 1$ ou $x \geq 9$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 11, 1) \cup [9, \infty)$

Étape 12