Pré-calcul Exemples

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $4$ et $12$ .

$\sqrt{16}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(0, 2), (0, - 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 4)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 4)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(0, 4), (0, - 4)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Étape 8.3.1.6

Additionnez $4$ et $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{2}$

Étape 8.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$2$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Étape 9.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 9.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 9.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2}$

Étape 9.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$

Étape 11

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $\frac{\sqrt{3}}{3} x$ et $0$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$

Étape 11.2

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$

Étape 12

Simplifiez $- \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- \frac{\sqrt{3}}{3} x$ et $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$

Étape 12.2

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(0, 2), (0, - 2)$

Foyers : $(0, 4), (0, - 4)$

Excentricité : $2$

Paramètre focal : $\frac{3}{2}$

Asymptotes : $y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Étape 15