Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 12 y - 6 x + 5 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 y - 6 x + 5 = - x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 12 y + 5 = - x^{2} + 6 x$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 12 y = - x^{2} + 6 x - 5$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 12$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 (x)}{- 12} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $- 12$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{6 \cdot - 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{6 x}{6 \cdot - 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{- 2} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{- 5}{- 12}$

Étape 1.1.2.3.1.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{5}{12}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{2} + \frac{5}{12}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{12}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Étape 1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Étape 1.2.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 6)$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot 6$

Étape 1.2.3.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot 6$

Étape 1.2.3.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3))$

Étape 1.2.3.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Étape 1.2.3.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.2.3.2.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{12}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{5}{12} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{5}{12} - (\frac{1}{4} \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.1.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3}{4}$

Étape 1.2.4.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.2.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = \frac{5}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12}$

Étape 1.2.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{5 - 3 \cdot 3}{12}$

Étape 1.2.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$e = \frac{5 - 9}{12}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Soustrayez $9$ de $5$ .

$e = \frac{- 4}{12}$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$e = \frac{4 (- 1)}{12}$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{1}{3}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{12} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 3)}^{2} - \frac{1}{3}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = 3$

$k = - \frac{1}{3}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(3, - \frac{1}{3})$

Étape 4