Pré-calcul Exemples

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 120 x - 90 y = 0$

Étape 1

Divisez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$x^{2} + y^{2} + 40 x - 30 y = 0$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + 40 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 40$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $40$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{20}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$d = 20$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $1600$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 400$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $400$ .

$e = 0 - 400$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $400$ de $0$ .

$e = - 400$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 20)}^{2} - 400$ .

${(x + 20)}^{2} - 400$

Étape 3

Remplacez $x^{2} + 40 x$ par ${(x + 20)}^{2} - 400$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + 40 x - 30 y = 0$ .

${(x + 20)}^{2} - 400 + y^{2} - 30 y = 0$

Étape 4

Déplacez $- 400$ du côté droit de l’équation en ajoutant $400$ des deux côtés.

${(x + 20)}^{2} + y^{2} - 30 y = 0 + 400$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} - 30 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 30$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 30}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$d = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 15}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $- 15$ par $1$ .

$d = - 15$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 30)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 30$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{900}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{900}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $900$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $225$ .

$e = 0 - 225$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 15)}^{2} - 225$ .

${(y - 15)}^{2} - 225$

Étape 6

Remplacez $y^{2} - 30 y$ par ${(y - 15)}^{2} - 225$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + 40 x - 30 y = 0$ .

${(x + 20)}^{2} + {(y - 15)}^{2} - 225 = 0 + 400$

Étape 7

Déplacez $- 225$ du côté droit de l’équation en ajoutant $225$ des deux côtés.

${(x + 20)}^{2} + {(y - 15)}^{2} = 0 + 400 + 225$

Étape 8

Simplifiez $0 + 400 + 225$ .

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Étape 8.1

Additionnez $0$ et $400$ .

${(x + 20)}^{2} + {(y - 15)}^{2} = 400 + 225$

Étape 8.2

Additionnez $400$ et $225$ .

${(x + 20)}^{2} + {(y - 15)}^{2} = 625$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 25$

$h = - 20$

$k = 15$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(- 20, 15)$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(- 20, 15)$

Rayon : $25$

Étape 13