Pré-calcul Exemples

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 4 y - 30 = 0$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$2 x^{2} + 2 {(0)}^{2} - 12 x + 4 (0) - 30 = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $2 x^{2} + 2 {(0)}^{2} - 12 x + 4 (0) - 30$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 0 - 12 x + 4 (0) - 30 = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 x^{2} + 0 - 12 x + 4 (0) - 30 = 0$

Étape 1.2.1.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$2 x^{2} + 0 - 12 x + 0 - 30 = 0$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 0 - 12 x + 0 - 30$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$2 x^{2} - 12 x + 0 - 30 = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $2 x^{2} - 12 x$ et $0$ .

$2 x^{2} - 12 x - 30 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 12 x - 30$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 30 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 30 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 15 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 15 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 15$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 15) = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - 6 x - 15) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{2} - 6 x - 15) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x - 15)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x - 15)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2} - 6 x - 15$ par $1$ .

$x^{2} - 6 x - 15 = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{2} - 6 x - 15 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Additionnez $36$ et $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{6}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Additionnez $36$ et $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 1.2.7.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{6}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + 2 \sqrt{6}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.3

Additionnez $36$ et $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 1.2.8.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.2.8.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{6}$

Étape 1.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - 2 \sqrt{6}$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + 2 \sqrt{6}, 3 - 2 \sqrt{6}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(3 + 2 \sqrt{6}, 0), (3 - 2 \sqrt{6}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$2 {(0)}^{2} + 2 y^{2} - 12 \cdot 0 + 4 y - 30 = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $2 {(0)}^{2} + 2 y^{2} - 12 \cdot 0 + 4 y - 30$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 + 2 y^{2} - 12 \cdot 0 + 4 y - 30 = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 2 y^{2} - 12 \cdot 0 + 4 y - 30 = 0$

Étape 2.2.1.1.3

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$0 + 2 y^{2} + 0 + 4 y - 30 = 0$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 2 y^{2} + 0 + 4 y - 30$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $2 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 0 + 4 y - 30 = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $2 y^{2}$ et $0$ .

$2 y^{2} + 4 y - 30 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2} + 4 y - 30$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) + 4 y - 30 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (2 y) - 30 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$2 y^{2} + 2 (2 y) + 2 \cdot - 15 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2} + 2 (2 y)$ .

$2 (y^{2} + 2 y) + 2 \cdot - 15 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (y^{2} + 2 y) + 2 \cdot - 15$ .

$2 (y^{2} + 2 y - 15) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $y^{2} + 2 y - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((y - 3) (y + 5)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (y - 3) (y + 5) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 5 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

Étape 2.2.5

Définissez $y + 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $y + 5$ égal à $0$ .

$y + 5 = 0$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 5$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (y - 3) (y + 5) = 0$ vraie.

$y = 3, - 5$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3), (0, - 5)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(3 + 2 \sqrt{6}, 0), (3 - 2 \sqrt{6}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3), (0, - 5)$

Étape 4