Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$

Étape 1

Complétez le carré pour $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{3}{2}$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $\frac{9}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Étape 2

Remplacez $x^{2} - 3 x$ par ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ dans l’équation $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y + y^{2} = 81$

Étape 3

Déplacez $- \frac{9}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{9}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y + y^{2} = 81 + \frac{9}{4}$

Étape 4

Complétez le carré pour $y + y^{2}$ .

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $y^{2}$ .

$y^{2} + y$

Étape 4.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Étape 4.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 4.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 4.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 5

Remplacez $y + y^{2}$ par ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 81 + \frac{9}{4}$

Étape 6

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 7

Simplifiez $81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9 + 1}{4}$

Étape 7.2

Additionnez $9$ et $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{10}{4}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 (5)}{4}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{5}{2}$

Étape 7.4

Pour écrire $81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 7.5

Associez $81$ et $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2 + 5}{2}$

Étape 7.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.7.1

Multipliez $81$ par $2$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{162 + 5}{2}$

Étape 7.7.2

Additionnez $162$ et $5$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{167}{2}$