Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} - 20 x + 24 y + 61 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 20 x + 24 y + 61 = - 4 x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $20 x$ aux deux côtés de l’équation.

$24 y + 61 = - 4 x^{2} + 20 x$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $61$ des deux côtés de l’équation.

$24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$ par $24$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$ par $24$ .

$\frac{24 y}{24} = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 y}{24} = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{4 (- x^{2})}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = \frac{4 (- x^{2})}{4 (6)} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 (- x^{2})}{4 \cdot 6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $20$ et $24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $20 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{24} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{4 (6)} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{4 \cdot 6} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} + \frac{- 61}{24}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} - \frac{61}{24}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} - \frac{61}{24}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = \frac{5}{6}$

$c = - \frac{61}{24}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{6})})$

Étape 1.2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{6}})$

Étape 1.2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{6}})$

Étape 1.2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})$

Étape 1.2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{3}})$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{6} (- (1 \cdot 3))$

Étape 1.2.3.2.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{5}{3 (2)} (- (1 \cdot 3))$

Étape 1.2.3.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- (1 \cdot 3)$ .

$d = \frac{5}{3 (2)} (3 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 1.2.3.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{3 \cdot 2} (3 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 1.2.3.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{2} (- 1 \cdot (1))$

Étape 1.2.3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = \frac{5}{2} \cdot - 1$

Étape 1.2.3.2.8

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$d = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.9

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.3.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{6}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{6}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{2}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{36} (- \frac{3}{2}))$

Étape 1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{36} \cdot \frac{- 3}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 (12)} \cdot \frac{- 3}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 \cdot 12} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 \cdot 12} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{12} \cdot \frac{- 1}{2})$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $\frac{25}{12}$ par $\frac{- 1}{2}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{25 \cdot - 1}{12 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.7

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{- 25}{12 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.8

Multipliez $12$ par $2$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{- 25}{24}$

Étape 1.2.4.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{61}{24} - - \frac{25}{24}$

Étape 1.2.4.2.1.10

Multipliez $- - \frac{25}{24}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{61}{24} + 1 (\frac{25}{24})$

Étape 1.2.4.2.1.10.2

Multipliez $\frac{25}{24}$ par $1$ .

$e = - \frac{61}{24} + \frac{25}{24}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 61 + 25}{24}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $- 61$ et $25$ .

$e = \frac{- 36}{24}$

Étape 1.2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.4.1

Factorisez $12$ à partir de $- 36$ .

$e = \frac{12 (- 3)}{24}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.4.2.1

Factorisez $12$ à partir de $24$ .

$e = \frac{12 \cdot - 3}{12 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{12 \cdot - 3}{12 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{6} {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{6} {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{3}{2}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - \frac{3}{2})$

Étape 4