Pré-calcul Exemples

$y = \frac{π}{2} + \sin (x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{π}{2} + \sin (y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{π}{2} + \sin (y) = x$ .

$\frac{π}{2} + \sin (y) = x$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (y) = x - \frac{π}{2}$

Étape 2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin ((\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2})$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $(\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{π - π}{2} + \sin (x))$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{0}{2} + \sin (x))$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.4.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + \sin (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$

Étape 4.3.3

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $\frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.5.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$