Pré-calcul Exemples

$y = 5^{x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 5^{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $5^{y} = x$ .

$5^{y} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{y}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez $\ln (5^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (5) = \ln (x)$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $y \ln (5) = \ln (x)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (5) = \ln (x)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ est l’inverse de $f (x) = 5^{x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 5^{x}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ est l’inverse de $f (x) = 5^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$