Pré-calcul Exemples

${(3 x - 2 y)}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(3 x - 2 y)}^{3}$ , $n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $3 x$ et $b$ $- 2 y$ dans l’expression.

$1 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez ${(3 x)}^{3}$ par $1$ .

${(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$3^{3} x^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- 2 y$ .

$27 x^{3} ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$27 \cdot {(- 2)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $27$ par $1$ .

$27 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez $27$ par $1$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.11

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Déplacez $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.11.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.12

Simplifiez $3^{3} x^{2} {(- 2 y)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} (- 2 y) + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot - 2 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.14

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} + 27 \cdot - 2 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez $27$ par $- 2$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.16

Simplifiez

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 3 (3 x) {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 x {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $- 2 y$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 x ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 \cdot {(- 2)}^{2} x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.20

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 \cdot 4 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.21

Multipliez $9$ par $4$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.22

Multipliez ${(3 x)}^{0}$ par $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 3^{0} x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.24

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.25

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.26

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.27

Multipliez ${(- 2 y)}^{3}$ par $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(- 2 y)}^{3}$

Étape 4.28

Appliquez la règle de produit à $- 2 y$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(- 2)}^{3} y^{3}$

Étape 4.29

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} - 8 y^{3}$