Pré-calcul Exemples

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y + 221 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $221$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $5 x^{2} - 80 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 5$

$b = - 80$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 80}{2 \cdot 5}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 80$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 80$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 (5)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 40}{5}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 40$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 8}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 8$ par $1$ .

$d = - 8$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 80)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 80$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{6400}{4 \cdot 5}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$e = 0 - \frac{6400}{20}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $6400$ par $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 320$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $320$ .

$e = 0 - 320$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $320$ de $0$ .

$e = - 320$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320$

Étape 1.3

Remplacez $5 x^{2} - 80 x$ par $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ dans l’équation $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320 + 9 y^{2} + 54 y = - 221$

Étape 1.4

Déplacez $- 320$ du côté droit de l’équation en ajoutant $320$ des deux côtés.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 221 + 320$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $9 y^{2} + 54 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{27}{9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$e = 0 - 81$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Étape 1.6

Remplacez $9 y^{2} + 54 y$ par $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ dans l’équation $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 221 + 320$

Étape 1.7

Déplacez $- 81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 221 + 320 + 81$

Étape 1.8

Simplifiez $- 221 + 320 + 81$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 221$ et $320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 99 + 81$

Étape 1.8.2

Additionnez $99$ et $81$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 180$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $180$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{5 {(x - 8)}^{2}}{180} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 8$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(8, - 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Étape 5.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- (4 \cdot 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 20}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\sqrt{36 - 20}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $20$ de $36$ .

$\sqrt{16}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(8 + 6, - 3)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(14, - 3)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(8 - (6), - 3)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(2, - 3)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(8 + 4, - 3)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(12, - 3)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(8 - (4), - 3)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(4, - 3)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

Étape 8.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

Étape 8.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Étape 8.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Étape 8.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

Étape 8.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $- (4 \cdot 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

Étape 8.3.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

Étape 8.3.1.6

Soustrayez $20$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{6}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(8, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

Excentricité : $\frac{2}{3}$

Étape 10