Pré-calcul Exemples

$(x^{2} - 1) (x + 5) (x - 3) < 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2

Définissez $x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez $x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 1) (x + 5) (x - 3) < 0$ vraie.

$x = 1, - 1, - 5, 3$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$({(- 8)}^{2} - 1) ((- 8) + 5) ((- 8) - 3) < 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $2079$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$({(- 3)}^{2} - 1) ((- 3) + 5) ((- 3) - 3) < 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 96$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$({(0)}^{2} - 1) ((0) + 5) ((0) - 3) < 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $15$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$({(2)}^{2} - 1) ((2) + 5) ((2) - 3) < 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$({(6)}^{2} - 1) ((6) + 5) ((6) - 3) < 0$

Étape 7.5.3

Le côté gauche $1155$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$1 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < - 1$ ou $1 < x < 3$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, - 1) \cup (1, 3)$

Étape 10