Pré-calcul Exemples

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 21$ , $b = 10 \sqrt{3} x$ et $c = 31 x^{2} - 144$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} x)}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} x))}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2

Laissez $u = 21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ . Remplacez toutes les occurrences de $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ par $u$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3} x$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.2.4

Multipliez $100$ par $3$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{300 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $300 x^{2} - 4 u$ .

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Étape 1.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $300 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (75 x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - u)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 \cdot (31 x^{2} - 144)))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.5

Simplifiez

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Étape 1.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 (31 x^{2}) + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.5.1.2

Multipliez $31$ par $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.5.1.3

Multipliez $21$ par $- 144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} - 3024))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.5.1.5

Multipliez $651$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.5.2

Soustrayez $651 x^{2}$ de $75 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (- 576 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.6

Factorisez $144$ à partir de $- 576 x^{2} + 3024$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $144$ à partir de $- 576 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez $144$ à partir de $3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 144 (21))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.6.3

Factorisez $144$ à partir de $144 (- 4 x^{2}) + 144 (21)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $4$ par $144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{576 (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{24^{2} (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x \pm 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} x))}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2

Laissez $u = 21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ . Remplacez toutes les occurrences de $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ par $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3} x$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $100$ par $3$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{300 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $300 x^{2} - 4 u$ .

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Étape 1.4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $300 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (75 x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - u)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 \cdot (31 x^{2} - 144)))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.5

Simplifiez

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Étape 1.4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 (31 x^{2}) + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.5.1.2

Multipliez $31$ par $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.5.1.3

Multipliez $21$ par $- 144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} - 3024))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.5.1.5

Multipliez $651$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.5.2

Soustrayez $651 x^{2}$ de $75 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (- 576 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.6

Factorisez $144$ à partir de $- 576 x^{2} + 3024$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $144$ à partir de $- 576 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez $144$ à partir de $3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 144 (21))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.6.3

Factorisez $144$ à partir de $144 (- 4 x^{2}) + 144 (21)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.7

Multipliez $4$ par $144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{576 (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{24^{2} (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x \pm 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \sqrt{3} x$ .

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ .

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) - (- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Étape 1.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 \sqrt{3} x) - (- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ .

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Étape 1.4.8

Réécrivez $- (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ comme $- 1 (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ .

$y = \frac{- 1 (5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Étape 1.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} x))}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot (31 x^{2} - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2

Laissez $u = 21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ . Remplacez toutes les occurrences de $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ par $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3} x$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{100 \cdot (3 x^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.2.4

Multipliez $100$ par $3$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{300 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $300 x^{2} - 4 u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $300 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (75 x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - u)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $21 \cdot (31 x^{2} - 144)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 \cdot (31 x^{2} - 144)))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (21 (31 x^{2}) + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.5.1.2

Multipliez $31$ par $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} + 21 \cdot - 144))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.5.1.3

Multipliez $21$ par $- 144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2} - 3024))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - (651 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.5.1.5

Multipliez $651$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (75 x^{2} - 651 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.5.2

Soustrayez $651 x^{2}$ de $75 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (- 576 x^{2} + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.6

Factorisez $144$ à partir de $- 576 x^{2} + 3024$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $144$ à partir de $- 576 x^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 3024)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez $144$ à partir de $3024$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2}) + 144 (21))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.6.3

Factorisez $144$ à partir de $144 (- 4 x^{2}) + 144 (21)$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 x^{2} + 21))}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.7

Multipliez $4$ par $144$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{576 (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm \sqrt{24^{2} (- 4 x^{2} + 21)}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{2 \cdot 21}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $21$ .

$y = \frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{- 10 \sqrt{3} x \pm 24 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x \pm 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \sqrt{3} x$ .

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ .

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x) - (12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Étape 1.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 \sqrt{3} x) - (12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ .

$y = \frac{- (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Étape 1.5.8

Réécrivez $- (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ comme $- 1 (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$ .

$y = \frac{- 1 (5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21}$

Étape 1.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{5 \sqrt{3} x - 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$ en deux fractions.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $21$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ .

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 (7)})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 \cdot 7}), - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{- 4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} - \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} - \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{5 \sqrt{3} x + 12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21}$ en deux fractions.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{21})$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $12$ et $21$ .

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Étape 7.1

Factorisez $3$ à partir de $12 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$ .

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{21})$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 (7)})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}, - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{3 (4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21})}{3 \cdot 7})$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7})$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} + \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3} x}{21} - \frac{4 \sqrt{- 4 x^{2} + 21}}{7}$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{5 \sqrt{3}}{21} x) + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3}}{21} x) - (\frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$

Étape 10

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - (\frac{5 \sqrt{3}}{21} x) - (\frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$

Étape 11

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x - (\frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21})$

Étape 12

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x + \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

$y = - \frac{5 \sqrt{3}}{21} x - \frac{4}{7} \cdot \sqrt{- 4 x^{2} + 21}$

Étape 13