Pré-calcul Exemples

$3 + \sqrt{4 a - 5} \leq 10$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{4 a - 5}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{4 a - 5} \leq 10 - 3$

Étape 1.2

Soustrayez $3$ de $10$ .

$\sqrt{4 a - 5} \leq 7$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{4 a - 5}}^{2} \leq 7^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 a - 5}$ comme ${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 a - 5)}^{1} \leq 7^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$4 a - 5 \leq 7^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$4 a - 5 \leq 49$

Étape 4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 a \leq 49 + 5$

Étape 4.1.2

Additionnez $49$ et $5$ .

$4 a \leq 54$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $4 a \leq 54$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 a \leq 54$ par $4$ .

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a \leq \frac{54}{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $54$ et $4$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$a \leq \frac{2 (27)}{4}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$a \leq \frac{27}{2}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $- 7 + \sqrt{4 a - 5}$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 a - 5}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 a - 5 \geq 0$

Étape 5.2

Résolvez $a$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 a \geq 5$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 a \geq 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 a \geq 5$ par $4$ .

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a \geq \frac{5}{4}$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $a$ qui rendent l’expression définie.

$[\frac{5}{4}, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$a < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$

$a > \frac{27}{2}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $a < \frac{5}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a < \frac{5}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $a$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 + \sqrt{4 (0) - 5} \leq 10$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 4$

Étape 7.2.2

Remplacez $a$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 + \sqrt{4 (4) - 5} \leq 10$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $6.31662479$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $a > \frac{27}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $a > \frac{27}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 16$

Étape 7.3.2

Remplacez $a$ par $16$ dans l’inégalité d’origine.

$3 + \sqrt{4 (16) - 5} \leq 10$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $10.68114574$ est supérieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$a < \frac{5}{4}$ Faux

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ Vrai

$a > \frac{27}{2}$ Faux

$a < \frac{5}{4}$ Faux

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ Vrai

$a > \frac{27}{2}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

Notation d’intervalle :

$[\frac{5}{4}, \frac{27}{2}]$

Étape 10