Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 80 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = - 9$ , $b = - 54$ et $c = x^{2} + 2 x - 80$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{54 \pm \sqrt{{(- 54)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80))}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.4

Simplifiez

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $36$ par $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.5

Soustrayez $2880$ de $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6

Réécrivez $36 x^{2} + 72 x + 36$ en forme factorisée.

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

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Étape 1.3.1.6.1.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6.1.2

Factorisez $36$ à partir de $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6.1.3

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6.1.4

Factorisez $36$ à partir de $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6.1.5

Factorisez $36$ à partir de $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.1.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3.1.6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.7

Réécrivez $36 {(x + 1)}^{2}$ comme ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.1.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $36$ par $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.5

Soustrayez $2880$ de $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6

Réécrivez $36 x^{2} + 72 x + 36$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

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Étape 1.4.1.6.1.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6.1.2

Factorisez $36$ à partir de $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6.1.3

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6.1.4

Factorisez $36$ à partir de $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6.1.5

Factorisez $36$ à partir de $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.4.1.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.4.1.6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.7

Réécrivez $36 {(x + 1)}^{2}$ comme ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.1.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - \frac{54 + 6 x + 6}{18}$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun à $54 + 6 x + 6$ et $18$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $6$ à partir de $54$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 x + 6}{18}$

Étape 1.4.5.2

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6}{18}$

Étape 1.4.5.3

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6 (1)}{18}$

Étape 1.4.5.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (x) + 6 (1)$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x + 1)}{18}$

Étape 1.4.5.5

Factorisez $6$ à partir de $6 \cdot 9 + 6 (x + 1)$ .

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{18}$

Étape 1.4.5.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.5.6.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 (3)}$

Étape 1.4.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 \cdot 3}$

Étape 1.4.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{9 + x + 1}{3}$

Étape 1.4.6

Additionnez $9$ et $1$ .

$y = - \frac{x + 10}{3}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 54$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez

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Étape 1.5.1.4.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $36$ par $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.5

Soustrayez $2880$ de $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6

Réécrivez $36 x^{2} + 72 x + 36$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

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Étape 1.5.1.6.1.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6.1.2

Factorisez $36$ à partir de $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6.1.3

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6.1.4

Factorisez $36$ à partir de $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6.1.5

Factorisez $36$ à partir de $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.5.1.6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.5.1.6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.7

Réécrivez $36 {(x + 1)}^{2}$ comme ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.1.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Étape 1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - \frac{54 - (6 x + 6)}{18}$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun à $54 - (6 x + 6)$ et $18$ .

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Étape 1.5.5.1

Réécrivez $54$ comme $- 1 (- 54)$ .

$y = - \frac{- 1 \cdot - 54 - (6 x + 6)}{18}$

Étape 1.5.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 54) - (6 x + 6)$ .

$y = - \frac{- 1 (- 54 + 6 x + 6)}{18}$

Étape 1.5.5.3

Factorisez $6$ à partir de $- 1 (- 54 + 6 x + 6)$ .

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{18}$

Étape 1.5.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.4.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 (3)}$

Étape 1.5.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 \cdot 3}$

Étape 1.5.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{- 1 (- 9 + x + 1)}{3}$

Étape 1.5.6

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$y = - \frac{- 1 (x - 8)}{3}$

Étape 1.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x - 8}{3}$

Étape 1.5.8

Multipliez $- - \frac{x - 8}{3}$ .

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Étape 1.5.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 (\frac{x - 8}{3})$

Étape 1.5.8.2

Multipliez $\frac{x - 8}{3}$ par $1$ .

$y = \frac{x - 8}{3}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{x + 10}{3}$ en deux fractions.

$y = - (\frac{x}{3} + \frac{10}{3})$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{x - 8}{3}$ en deux fractions.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{3} x) - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Étape 8

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Étape 9