Pré-calcul Exemples

$y^{2} - 4 y = 4 x$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 4 y - 4 x = 0$

Étape 1.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 4 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 4 x$ .

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Étape 1.4.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 4 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 - 4 x$ .

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Étape 1.4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1) - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1) + 4 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 1) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5

Réécrivez $- 16 (- 1 - x)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))$ .

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Étape 1.4.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 4 x$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 4 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 - 4 x$ .

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Étape 1.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1) - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1) + 4 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 1) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5

Réécrivez $- 16 (- 1 - x)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))$ .

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Étape 1.5.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 4 x$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot - 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 4 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 - 4 x$ .

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Étape 1.6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1) - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1) + 4 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 1) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez $- 16 (- 1 - x)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))$ .

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Étape 1.6.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2}$

Étape 1.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

Étape 1.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

Étape 1.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

$y = 2 + 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- 1 (- 1 - x)}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Réécrivez $- 1 (- 1 - x)$ comme $- (- 1 - x)$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- 1 - x)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- 1 - x)}$

Étape 4