Pré-calcul Exemples

$\sqrt{x^{2} - 4 x - 5}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 4 x - 5}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - 1$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 5 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $27$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 5 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 5 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $27$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 5$ Faux

$x > 5$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 5$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 1, x \geq 5}$

Étape 4