Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x - 5 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $4 x^{2} + 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4}{4}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Étape 1.3

Remplacez $4 x^{2} + 8 x$ par $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ dans l’équation $4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + y^{2} = 5$

Étape 1.4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5 + 4$

Étape 1.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 9$

Étape 1.6

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = - 1$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 1, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

Étape 5.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

Étape 5.3.5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Étape 5.3.6

Associez $9$ et $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Étape 5.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

Étape 5.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.8.1

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

Étape 5.3.8.2

Soustrayez $9$ de $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

Étape 5.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{27}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.10.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.10.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.10.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.11.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.3.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 0 + 3)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(- 1, 3)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 0 - (3))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 1, - 3)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

$(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 1, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

Étape 8.3.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.6

Associez $9$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.8.1

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.8.2

Soustrayez $9$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{27}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.10.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.3.1.10.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.10.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Étape 8.3.1.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1.11.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

Étape 8.3.1.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

Étape 8.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10