Pré-calcul Exemples

$4 y^{2} + 32 x - 28 y - 15 = 0$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 28$ et $c = 32 x - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (32 x - 15))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $- 28$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 4 \cdot (32 x - 15)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 16 \cdot (32 x - 15)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 16 (32 x) - 16 \cdot - 15}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $32$ par $- 16$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 512 x - 16 \cdot - 15}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 16$ par $- 15$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 512 x + 240}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.6

Additionnez $784$ et $240$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{- 512 x + 1024}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.7

Factorisez $512$ à partir de $- 512 x + 1024$ .

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Étape 1.3.1.7.1

Factorisez $512$ à partir de $- 512 x$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x) + 1024}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.7.2

Factorisez $512$ à partir de $1024$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x) + 512 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.7.3

Factorisez $512$ à partir de $512 (- x) + 512 (2)$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez $512 (- x + 2)$ comme ${(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))$ .

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Étape 1.3.1.8.1

Factorisez $256$ à partir de $512$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{256 (2) (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.8.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.8.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{{(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{{(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{28 \pm 4^{2} \sqrt{2 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{8}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{8}$ .

$y = \frac{7 \pm 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $- 28$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 4 \cdot (32 x - 15)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 16 \cdot (32 x - 15)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 16 (32 x) - 16 \cdot - 15}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $32$ par $- 16$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 512 x - 16 \cdot - 15}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 16$ par $- 15$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 512 x + 240}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.6

Additionnez $784$ et $240$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{- 512 x + 1024}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.7

Factorisez $512$ à partir de $- 512 x + 1024$ .

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Étape 1.4.1.7.1

Factorisez $512$ à partir de $- 512 x$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x) + 1024}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.7.2

Factorisez $512$ à partir de $1024$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x) + 512 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.7.3

Factorisez $512$ à partir de $512 (- x) + 512 (2)$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $512 (- x + 2)$ comme ${(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))$ .

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Étape 1.4.1.8.1

Factorisez $256$ à partir de $512$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{256 (2) (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.8.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.8.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{{(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{{(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{28 \pm 4^{2} \sqrt{2 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{8}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{8}$ .

$y = \frac{7 \pm 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{7 + 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 28$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 4 \cdot (32 x - 15)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 16 \cdot (32 x - 15)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 16 (32 x) - 16 \cdot - 15}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $32$ par $- 16$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 512 x - 16 \cdot - 15}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 16$ par $- 15$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 512 x + 240}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.6

Additionnez $784$ et $240$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{- 512 x + 1024}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.7

Factorisez $512$ à partir de $- 512 x + 1024$ .

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Étape 1.5.1.7.1

Factorisez $512$ à partir de $- 512 x$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x) + 1024}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.7.2

Factorisez $512$ à partir de $1024$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x) + 512 (2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.7.3

Factorisez $512$ à partir de $512 (- x) + 512 (2)$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{512 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $512 (- x + 2)$ comme ${(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))$ .

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Étape 1.5.1.8.1

Factorisez $256$ à partir de $512$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{256 (2) (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.8.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.8.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{{(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{{(4^{2})}^{2} \cdot (2 (- x + 2))}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{28 \pm 4^{2} \sqrt{2 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{8}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{28 \pm 16 \sqrt{2 (- x + 2)}}{8}$ .

$y = \frac{7 \pm 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{7 + 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

$y = \frac{7 + 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{7 + 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{7}{2} + \frac{4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2 (- x + 2)}$ .

$y = \frac{7}{2} + \frac{2 (2 \sqrt{2 (- x + 2)})}{2}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{7}{2} + \frac{2 (2 \sqrt{2 (- x + 2)})}{2 (1)}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7}{2} + \frac{2 (2 \sqrt{2 (- x + 2)})}{2 \cdot 1}, \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7}{2} + \frac{2 \sqrt{2 (- x + 2)}}{1}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 4.2.4

Divisez $2 \sqrt{2 (- x + 2)}$ par $1$ .

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{7 - 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$ en deux fractions.

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} + \frac{- 4 \sqrt{2 (- x + 2)}}{2}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{2 (- x + 2)}$ .

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} + \frac{2 (- 2 \sqrt{2 (- x + 2)})}{2}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} + \frac{2 (- 2 \sqrt{2 (- x + 2)})}{2 (1)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}, \frac{7}{2} + \frac{2 (- 2 \sqrt{2 (- x + 2)})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} + \frac{- 2 \sqrt{2 (- x + 2)}}{1}$

Étape 6.2.4

Divisez $- 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$ par $1$ .

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} - 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} - 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} + 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

$y = \frac{7}{2} - 2 \sqrt{2 (- x + 2)}$

Étape 7