Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{144}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{144}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 25$ .

$- 25 (- \frac{y^{2}}{25}) = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $- 25 (- \frac{y^{2}}{25})$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{25}$ dans le numérateur.

$- 25 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.1.1.1.2

Factorisez $25$ à partir de $- 25$ .

$25 (- 1) \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$25 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.1.1.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $- 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = - 25 \cdot 1 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 25$ par $1$ .

$y^{2} = - 25 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 25 (- \frac{x^{2}}{144})$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$y^{2} = - 25 + 25 \frac{x^{2}}{144}$

Étape 3.2.1.3.2

Associez $25$ et $\frac{x^{2}}{144}$ .

$y^{2} = - 25 + \frac{25 x^{2}}{144}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $25 x^{2}$ comme ${(5 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{144}}$

Étape 5.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}$ comme ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 5^{2} + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Remettez dans l’ordre $- 5^{2}$ et ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5 x}{12})}^{2} - 5^{2}}$

Étape 5.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{5 x}{12}$ et $b = 5$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Factorisez $5$ à partir de $\frac{5 x}{12} + 5$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $5$ à partir de $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5 (1)) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \frac{x}{12} + 5 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Étape 5.6.2

Factorisez $5$ à partir de $\frac{5 x}{12} - 5$ .

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} - 5)}$

Étape 5.6.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} + 5 (- 1))}$

Étape 5.6.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \frac{x}{12} + 5 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 (\frac{x}{12} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) \cdot 5 (\frac{x}{12} - 1)}$

Étape 5.6.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{x}{12} - 1)}$

Étape 5.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + \frac{12}{12}) (\frac{x}{12} - 1)}$

Étape 5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1)}$

Étape 5.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12})}$

Étape 5.10

Associez $- 1$ et $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12})}$

Étape 5.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 1 \cdot 12}{12}}$

Étape 5.12

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 12}{12}}$

Étape 5.13

Associez les exposants.

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Étape 5.13.1

Associez $25$ et $\frac{x + 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12)}{12} \cdot \frac{x - 12}{12}}$

Étape 5.13.2

Multipliez $\frac{25 (x + 12)}{12}$ par $\frac{x - 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{12 \cdot 12}}$

Étape 5.13.3

Multipliez $12$ par $12$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}}$

Étape 5.14

Réécrivez $\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}$ comme ${(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))$ .

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Étape 5.14.1

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25 (x + 12) (x - 12)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{144}}$

Étape 5.14.2

Factorisez la puissance parfaite $12^{2}$ dans $144$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.14.3

Réorganisez la fraction $\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))}$

Étape 5.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{5}{12} \sqrt{(x + 12) (x - 12)}$

Étape 5.16

Associez $\frac{5}{12}$ et $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 12) (x - 12) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 12 = 0$

Étape 8.2

Définissez $x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $x + 12$ égal à $0$ .

$x + 12 = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 8.3

Définissez $x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $x - 12$ égal à $0$ .

$x - 12 = 0$

Étape 8.3.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 12) (x - 12) \geq 0$ vraie.

$x = - 12, 12$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 12$

$- 12 < x < 12$

$x > 12$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 14$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 14$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 14) + 12) ((- 14) - 12) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $52$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 12 < x < 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 12) ((0) - 12) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $- 144$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 12$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

$((14) + 12) ((14) - 12) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $52$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 12$ Vrai

$- 12 < x < 12$ Faux

$x > 12$ Vrai

$x < - 12$ Vrai

$- 12 < x < 12$ Faux

$x > 12$ Vrai

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 12$ ou $x \geq 12$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 12] \cup [12, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 12] \cup [12, \infty), {x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 12