Pré-calcul Exemples

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

Étape 1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + \frac{3}{4} x$ .

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Étape 2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$d = \frac{3}{8}$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.5.2.1.4.1

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.1.4.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{9}{64}$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $\frac{9}{64}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{64}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

Étape 3

Remplacez $x^{2} + \frac{3}{4} x$ par ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Étape 4

Déplacez $- \frac{9}{64}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{9}{64}$ des deux côtés.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + \frac{5}{3} y$ .

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Étape 5.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Étape 5.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Étape 5.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2.3

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Étape 5.4.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Étape 5.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Étape 5.5.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.5.2.1.4

Multipliez $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 5.5.2.1.4.1

Multipliez $\frac{25}{9}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.1.4.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Étape 5.5.2.2

Soustrayez $\frac{25}{36}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Étape 5.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + \frac{5}{3} y$ par ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Étape 7

Déplacez $- \frac{25}{36}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{25}{36}$ des deux côtés.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Étape 8

Simplifiez $\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ .

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Étape 8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Étape 8.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{9}{64}$ par $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Étape 8.1.4

Multipliez $\frac{9}{64}$ par $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{25}{36}$ par $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 8.1.6

Multipliez $\frac{25}{36}$ par $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Étape 8.1.7

Multipliez $2$ par $288$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Étape 8.1.8

Réorganisez les facteurs de $64 \cdot 9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Étape 8.1.9

Multipliez $9$ par $64$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Étape 8.1.10

Réorganisez les facteurs de $36 \cdot 16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

Étape 8.1.11

Multipliez $16$ par $36$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Multipliez $9$ par $9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

Étape 8.3.2

Multipliez $25$ par $16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

Étape 8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.4.1

Additionnez $288$ et $81$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

Étape 8.4.2

Additionnez $369$ et $400$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

Étape 9

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 10

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

Étape 11

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Étape 12

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Rayon : $\frac{\sqrt{769}}{24}$

Étape 13