Pré-calcul Exemples

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

Étape 1

Ajoutez $\frac{x^{2}}{25}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 + \frac{x^{2}}{25}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Étape 3.2.1.3

Associez $9$ et $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{9 x^{2}}{25}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$ .

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Étape 5.1

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot \frac{25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Étape 5.2

Associez $9$ et $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25 + 9 x^{2}}{25}}$

Étape 5.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \cdot 25 + 9 x^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $9$ à partir de $9 \cdot 25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 x^{2}}{25}}$

Étape 5.4.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 (x^{2})}{25}}$

Étape 5.4.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (25) + 9 (x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25 + x^{2})}{25}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\frac{9 (25 + x^{2})}{25}$ comme ${(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9 (25 + x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{25}}$

Étape 5.5.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})}$

Étape 5.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{5^{2} + x^{2}}$

Étape 5.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{25 + x^{2}}$

Étape 5.8

Associez $\frac{3}{5}$ et $\sqrt{25 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{25 + x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$25 + x^{2} \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq - 25$

Étape 8.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty), {y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Étape 12