Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 3 x^{2} - x > - 3$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 3 x^{2} - x = - 3$

Étape 2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 3) - (x - 3) = 0$

Étape 3.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 3.4

Factorisez.

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Étape 3.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1, 1$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - (- 4) > - 3$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 108$ n’est pas supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - (0) > - 3$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - (2) > - 3$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 6$ n’est pas supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{3} - 3 {(6)}^{2} - (6) > - 3$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $102$ est supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < 1$ ou $x > 3$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 1, 1) \cup (3, \infty)$

Étape 13