Pré-calcul Exemples

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ comme ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.3.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 3$

$x = 2$

Étape 2.3.5

Consolidez les solutions.

$x = - 3, 2$

Étape 2.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

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Étape 2.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.4.2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4.2.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 3$

$x = 2$

Étape 2.4.2.5

Consolidez les solutions.

$x = - 3, 2$

Étape 2.4.2.6

Déterminez le domaine de $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

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Étape 2.4.2.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4.2.6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 2.4.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Étape 2.4.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.4.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.4.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Étape 2.4.2.8.1.3

Le côté gauche $0.375$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.4.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.4.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.4.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Étape 2.4.2.8.2.3

Le côté gauche $- 1.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.4.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.4.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.4.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Étape 2.4.2.8.3.3

Le côté gauche $3.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.4.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 2.4.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x > 2$

Étape 2.4.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $0.61237243$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

Étape 2.6.3.3

Le côté gauche $1.87082869$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $x > 2$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 3$

$x = 2$

Étape 4.5

Consolidez les solutions.

$x = - 3, 2$

Étape 4.6

Déterminez le domaine de $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Étape 4.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 4.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Étape 4.8.1.3

Le côté gauche $0.375$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Étape 4.8.2.3

Le côté gauche $- 1.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Étape 4.8.3.3

Le côté gauche $3.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 4.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x > 2$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 3, x > 2}$

Étape 8