Pré-calcul Exemples

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y + 8 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $8 x^{2} - 32 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 8$

$b = - 32$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 16}{8}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 32$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$e = 0 - \frac{1024}{32}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $1024$ par $32$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$e = 0 - 32$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $32$ de $0$ .

$e = - 32$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$

Étape 1.3

Remplacez $8 x^{2} - 32 x$ par $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ dans l’équation $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32 + 6 y^{2} + 24 y = - 8$

Étape 1.4

Déplacez $- 32$ du côté droit de l’équation en ajoutant $32$ des deux côtés.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 24 y = - 8 + 32$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $6 y^{2} + 24 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 6$

$b = 24$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 6}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (6)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{12}{6}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 6}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $6$ .

$e = 0 - \frac{576}{24}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $576$ par $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 24$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$e = 0 - 24$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$e = - 24$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ .

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$

Étape 1.6

Remplacez $6 y^{2} + 24 y$ par $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ dans l’équation $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} - 24 = - 8 + 32$

Étape 1.7

Déplacez $- 24$ du côté droit de l’équation en ajoutant $24$ des deux côtés.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = - 8 + 32 + 24$

Étape 1.8

Simplifiez $- 8 + 32 + 24$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 8$ et $32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 24 + 24$

Étape 1.8.2

Additionnez $24$ et $24$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 48$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $48$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{48} + \frac{6 {(y + 2)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{6} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{6}$

$k = - 2$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, - 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{8 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{8 - 6^{1}}$

Étape 5.3.4.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 6}$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\sqrt{8 - 6}$

Étape 5.3.5.2

Soustrayez $6$ de $8$ .

$\sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

Étape 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 2 - (2 \sqrt{2}))$

Étape 6.5

Simplifiez

$(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Étape 6.6

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 2 + \sqrt{2})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(2, - 2 - (\sqrt{2}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(2, - 2 - \sqrt{2})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.1.7

Soustrayez $6$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(2, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Excentricité : $\frac{1}{2}$

Étape 10