Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 7 x - 3}{4 x + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{5 x^{2} - 7 x - 3}{4 x + 1}$ est indéfinie.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$1$

$5 x^{2}$

$7 x$

$3$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

					$\frac{5 x}{4}$
	$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{5 x}{4}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			+	$5 x^{2}$	+	$\frac{5 x}{4}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{2} + \frac{5 x}{4}$

				$\frac{5 x}{4}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{5 x}{4}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{5 x}{4}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{5 x}{4}$
					-	$\frac{33 x}{4}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$\frac{5 x}{4}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{5 x}{4}$
					-	$\frac{33 x}{4}$	-	$3$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- \frac{33 x}{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$\frac{5 x}{4}$	-	$\frac{33}{16}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{5 x}{4}$
					-	$\frac{33 x}{4}$	-	$3$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{5 x}{4}$	-	$\frac{33}{16}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{5 x}{4}$
					-	$\frac{33 x}{4}$	-	$3$
					-	$\frac{33 x}{4}$	-	$\frac{33}{16}$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- \frac{33 x}{4} - \frac{33}{16}$

				$\frac{5 x}{4}$	-	$\frac{33}{16}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{5 x}{4}$
					-	$\frac{33 x}{4}$	-	$3$
					+	$\frac{33 x}{4}$	+	$\frac{33}{16}$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{5 x}{4}$	-	$\frac{33}{16}$
$4 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	-	$7 x$	-	$3$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{5 x}{4}$
					-	$\frac{33 x}{4}$	-	$3$
					+	$\frac{33 x}{4}$	+	$\frac{33}{16}$
							-	$\frac{15}{16}$

Étape 5.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{5 x}{4} - \frac{33}{16} - \frac{15}{16 (4 x + 1)}$

Étape 5.12

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{33}{16}$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{1}{4}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{5 x}{4} - \frac{33}{16}$

Étape 7