Pré-calcul Exemples

$\frac{3}{x - 1} > \frac{4}{x + 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{4}{x + 1}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{3}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{4}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{3}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{4}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x + 1) - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 - 4 x - 4 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.5.6

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{- x + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.7

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x - 7)$ comme $- 1 (x - 7)$ .

$\frac{- 1 (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 7, - 1, 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{(- 4) - 1} > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.6$ est supérieur au côté droit $- 1.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{(0) - 1} > \frac{4}{(0) + 1}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 3$ n’est pas supérieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{(4) - 1} > \frac{4}{(4) + 1}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0.8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3}{(10) - 1} > \frac{4}{(10) + 1}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{36}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$1 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$1 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $1 < x < 7$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 1) \cup (1, 7)$

Étape 14