Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Étape 2

Divisez ${(y - 3)}^{2}$ par $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Étape 3

Simplifiez $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

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Étape 3.1

Associez en une fraction.

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Étape 3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Étape 3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

Étape 3.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

Étape 3.2.3.5

Additionnez $2$ et $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

Étape 3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

Étape 3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $- \frac{x (x - 4)}{4}$ comme ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x (x - 4)$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

Étape 5.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

Étape 5.1.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Étape 5.1.6

Ajoutez des parenthèses.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

Étape 5.1.7

Ajoutez des parenthèses.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Étape 5.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Étape 6.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Étape 6.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Étape 6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x (x - 4)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x (x - 4) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 8.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 8.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 8.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x - 4) \geq 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 4$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[2, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | 2 \leq y \leq 4}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

Plage : $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

Étape 12