Pré-calcul Exemples

$y^{2} - 4 y = 4 x + 16$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 4 y - 4 x = 16$

Étape 1.1.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 4 y - 4 x - 16 = 0$

Étape 1.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 4 x - 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

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Étape 1.4.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4 x - 16$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Soustrayez $16$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 20$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) + 4 (- 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- 5)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6

Réécrivez $- 16 (- x - 5)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4 x - 16$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Soustrayez $16$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 20$ .

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Étape 1.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) + 4 (- 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- 5)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6

Réécrivez $- 16 (- x - 5)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 4 x - 16$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3

Soustrayez $16$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 20$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 20$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) + 4 (- 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- 5)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6

Réécrivez $- 16 (- x - 5)$ comme ${(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))$ .

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Étape 1.6.1.6.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$

Étape 1.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Étape 1.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Étape 1.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

La forme normalisée est $2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}, 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Étape 4