Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ est indéfinie.

$x = - 9, x = - 5$

Étape 2

Comme $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 9$ depuis la gauche et $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 9$ depuis la droite, $x = - 9$ est une asymptote verticale.

$x = - 9$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{2} + 14 x + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $45$ et dont la somme est $14$ .

$5, 9$

Étape 6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{(x + 5) (x + 9)}$

Étape 6.2

Développez $(x + 5) (x + 9)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x (x + 9) + 5 (x + 9)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 (x + 9)}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 x + 5 \cdot 9}$

Étape 6.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Étape 6.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{1 + 1} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Étape 6.2.9

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 45}$

Étape 6.2.10

Additionnez $9 x$ et $5 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 28 x^{2} + 90 x$

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$
							-	$4 x^{2}$	-	$56 x$	-	$180$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} - 56 x - 180$

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

$x$

$5$

Étape 6.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$2 x - 4 + \frac{x + 5}{x^{2} + 14 x + 45}$

Étape 6.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 2 x - 4$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 9$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 2 x - 4$

Étape 8