Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{100}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Étape 3.2.1.1.2

Multipliez $64$ par $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{100}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

Étape 3.2.1.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

Étape 3.2.1.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 3.2.1.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 3.2.1.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

Étape 3.2.1.1.4

Associez $16$ et $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

Étape 3.2.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Étape 3.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

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Étape 5.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $\frac{16 x^{2}}{25}$ comme ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8$ et $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.1

Associez $8$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8 \cdot 5 + 4 x$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.6

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.7

Simplifiez les termes.

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Étape 5.7.1

Associez $8$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Étape 5.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

Étape 5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8 \cdot 5 - 4 x$ .

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Étape 5.8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

Étape 5.8.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

Étape 5.8.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

Étape 5.8.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

Étape 5.9

Associez les fractions.

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Étape 5.9.1

Multipliez $\frac{4 (10 + x)}{5}$ par $\frac{4 (10 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

Étape 5.9.2

Multipliez.

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Étape 5.9.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

Étape 5.9.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

Étape 5.10

Réécrivez $\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ comme ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ .

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Étape 5.10.1

Factorisez la puissance parfaite ${(2^{2})}^{2}$ dans $16 (10 + x) (10 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

Étape 5.10.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

Étape 5.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Étape 5.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Étape 5.13

Associez $\frac{4}{5}$ et $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

Étape 8.2

Définissez $10 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $10 + x$ égal à $0$ .

$10 + x = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 8.3

Définissez $10 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $10 - x$ égal à $0$ .

$10 - x = 0$

Étape 8.3.2

Résolvez $10 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.3.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 10$

Étape 8.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 10$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 10$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.2.3.1

Divisez $- 10$ par $- 1$ .

$x = 10$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 10, 10$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 44$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $100$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 44$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 10$ Faux

$- 10 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

$x < - 10$ Faux

$- 10 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 10 \leq x \leq 10$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 10, 10]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 8, 8]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

Plage : $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Étape 12