Pré-calcul Exemples

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1) = 1 - \sec^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 2.1

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 2.5

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$- (1 - \cos^{2} (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 4

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 4.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (1 - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 1 - - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $- - {\cos (x)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(- 1 + 1 {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par $1$ .

$(- 1 + {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ comme $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de ${\cos (x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Réécrivez $1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme $1 - \sec^{2} (x)$ .

$1 - \sec^{2} (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1) = 1 - \sec^{2} (x)$ est une identité