Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 8 x = 4 y - 12$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $4 y - 12 = x^{2} + 8 x$ .

$4 y - 12 = x^{2} + 8 x$

Étape 1.1.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = x^{2} + 8 x + 12$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 8 x + 12$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} + 8 x + 12$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2.4

Divisez $2 x$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{12}{4}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Divisez $12$ par $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 3$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 3$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 1 \cdot 4$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 3 - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 1$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 4, - 1)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez en divisant des nombres.

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Étape 4.3.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 5

Déterminez le foyer.

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Étape 5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 4, 0)$

Étape 6