Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Étape 2

Soustrayez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ par $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ par $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 3.1.3

Multipliez $- - \cos (θ)$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 3.4

Additionnez $\cos (θ)$ et $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ comme $2 \cot (θ) \csc (θ)$ .

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ est une identité