Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$

Étape 1

Définissez $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ égal à $0$ .

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 116, \pm 58, \pm 2, \pm 29, \pm 4, \pm 14.5$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{4} - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$2 \cdot 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.0625$ .

$0.125 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$0.125 - 13 \cdot 0.125 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $- 13$ par $0.125$ .

$0.125 - 1.625 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.6

Soustrayez $1.625$ de $0.125$ .

$- 1.5 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.7

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$- 1.5 - 16 \cdot 0.25 + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.8

Multipliez $- 16$ par $0.25$ .

$- 1.5 - 4 + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.9

Soustrayez $4$ de $- 1.5$ .

$- 5.5 + 243 \cdot 0.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.10

Multipliez $243$ par $0.5$ .

$- 5.5 + 121.5 - 116$

Étape 2.1.1.3.11

Additionnez $- 5.5$ et $121.5$ .

$116 - 116$

Étape 2.1.1.3.12

Soustrayez $116$ de $116$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116}{2 x - 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ par $2 x - 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{3}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			+	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{4} - x^{3}$

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					-	$12 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{3} + 6 x^{2}$

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 22 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 22 x^{2} + 11 x$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

Étape 2.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

Étape 2.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $232 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

Étape 2.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									+	$232 x$	-	$116$

Étape 2.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $232 x - 116$

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$

Étape 2.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$
												$0$

Étape 2.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez $- 4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Remplacez $- 4$ dans le polynôme.

${(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

Étape 2.1.2.1.3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$- 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

Étape 2.1.2.1.3.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- 64 - 6 \cdot 16 - 11 \cdot - 4 + 116$

Étape 2.1.2.1.3.4

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$- 64 - 96 - 11 \cdot - 4 + 116$

Étape 2.1.2.1.3.5

Soustrayez $96$ de $- 64$ .

$- 160 - 11 \cdot - 4 + 116$

Étape 2.1.2.1.3.6

Multipliez $- 11$ par $- 4$ .

$- 160 + 44 + 116$

Étape 2.1.2.1.3.7

Additionnez $- 160$ et $44$ .

$- 116 + 116$

Étape 2.1.2.1.3.8

Additionnez $- 116$ et $116$ .

$0$

Étape 2.1.2.1.4

Comme $- 4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116}{x + 4}$

Étape 2.1.2.1.5

Divisez $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ par $x + 4$ .

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Étape 2.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

Étape 2.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$

Étape 2.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 2.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 2.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$40 x$

Étape 2.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x^{2} - 40 x$

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$

Étape 2.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$

Étape 2.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

Étape 2.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $29 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

Étape 2.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							+	$29 x$	+	$116$

Étape 2.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $29 x + 116$

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$

Étape 2.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$
										$0$

Étape 2.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 10 x + 29$

Étape 2.1.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) ((x + 4) (x^{2} - 10 x + 29)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Étape 2.3

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 10 x + 29$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 10 x + 29$ égal à $0$ .

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 10 x + 29 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = 29$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $116$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $116$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Étape 2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 5 + 2 i$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $116$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Étape 2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Étape 2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 5 - 2 i$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 5 + 2 i, 5 - 2 i$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = \frac{1}{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 4$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5 + 2 i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5 - 2 i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 4$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5 + 2 i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5 - 2 i$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3