Pré-calcul Exemples

$a = 18$ , $b = 20$ , $c = 13$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(20)}^{2} + {(13)}^{2} - {(18)}^{2}}{2 (20) (13)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 13^{2} - 18^{2}}{2 (20) \cdot 13})$

Étape 4.1.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 169 - 18^{2}}{2 (20) \cdot 13})$

Étape 4.1.3

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 169 - 1 \cdot 324}{2 (20) \cdot 13})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $324$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 169 - 324}{2 (20) \cdot 13})$

Étape 4.1.5

Additionnez $400$ et $169$ .

$A = \arccos (\frac{569 - 324}{2 (20) \cdot 13})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $324$ de $569$ .

$A = \arccos (\frac{245}{2 (20) \cdot 13})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $20$ .

$A = \arccos (\frac{245}{40 \cdot 13})$

Étape 4.2.2

Multipliez $40$ par $13$ .

$A = \arccos (\frac{245}{520})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $245$ et $520$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $5$ à partir de $245$ .

$A = \arccos (\frac{5 (49)}{520})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $520$ .

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 49}{5 \cdot 104})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 49}{5 \cdot 104})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{49}{104})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (\frac{49}{104})$ .

$A = 61.89077871$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(18)}^{2} + {(13)}^{2} - {(20)}^{2}}{2 (18) (13)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 13^{2} - 20^{2}}{2 (18) \cdot 13})$

Étape 8.1.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 169 - 20^{2}}{2 (18) \cdot 13})$

Étape 8.1.3

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 169 - 1 \cdot 400}{2 (18) \cdot 13})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $400$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 169 - 400}{2 (18) \cdot 13})$

Étape 8.1.5

Additionnez $324$ et $169$ .

$B = \arccos (\frac{493 - 400}{2 (18) \cdot 13})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $400$ de $493$ .

$B = \arccos (\frac{93}{2 (18) \cdot 13})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $18$ .

$B = \arccos (\frac{93}{36 \cdot 13})$

Étape 8.2.2

Multipliez $36$ par $13$ .

$B = \arccos (\frac{93}{468})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $93$ et $468$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $3$ à partir de $93$ .

$B = \arccos (\frac{3 (31)}{468})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $468$ .

$B = \arccos (\frac{3 \cdot 31}{3 \cdot 156})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{3 \cdot 31}{3 \cdot 156})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{31}{156})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{31}{156})$ .

$B = 78.53800182$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$61.89077871 + C + 78.53800182 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $61.89077871$ et $78.53800182$ .

$C + 140.42878054 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $140.42878054$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 140.42878054$

Étape 10.2.2

Soustrayez $140.42878054$ de $180$ .

$C = 39.57121945$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 61.89077871$

$B = 78.53800182$

$C = 39.57121945$

$a = 18$

$b = 20$

$c = 13$