Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 3$

$k = 4$

$h = - 2$

Étape 4

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 3^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 9}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{12 - 9}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.1.7

Soustrayez $9$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 7