Pré-calcul Exemples

$y = - x^{2} - 10 x - 18$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - y^{2} - 10 y - 18$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- y^{2} - 10 y - 18 = x$ .

$- y^{2} - 10 y - 18 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} - 10 y - 18 - x = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 10$ et $c = - 18 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 18 - x))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.4

Multipliez $4$ par $- 18$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.6

Soustrayez $72$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.7

Factorisez $4$ à partir de $28 - 4 x$ .

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Étape 2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

Étape 2.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

Étape 2.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ comme $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ .

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $4$ par $- 18$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.6

Soustrayez $72$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.7

Factorisez $4$ à partir de $28 - 4 x$ .

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Étape 2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

Étape 2.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

Étape 2.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ comme $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ .

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

Étape 2.6.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - (5 + \sqrt{7 - x})$

Étape 2.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 5 - \sqrt{7 - x}$

Étape 2.6.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot (- 18 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 18 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $4$ par $- 18$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.6

Soustrayez $72$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{28 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.7

Factorisez $4$ à partir de $28 - 4 x$ .

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Étape 2.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (7 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{7 - x}}{- 2}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$

Étape 2.7.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 \pm \sqrt{7 - x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$

Étape 2.7.5

Réécrivez $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{7 - x})$ comme $- (5 \pm \sqrt{7 - x})$ .

$y = - (5 \pm \sqrt{7 - x})$

Étape 2.7.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - (5 - \sqrt{7 - x})$

Étape 2.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 5 + \sqrt{7 - x}$

Étape 2.7.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

Étape 2.7.9

Multipliez $- - \sqrt{7 - x}$ .

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Étape 2.7.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - 5 + 1 \sqrt{7 - x}$

Étape 2.7.9.2

Multipliez $\sqrt{7 - x}$ par $1$ .

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 - \sqrt{7 - x}$

$y = - 5 + \sqrt{7 - x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ est l’inverse de $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ et $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 7]$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $- 5 - \sqrt{7 - x}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{7 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$7 - x \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 7$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 7$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 7}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x \leq 7$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 7]$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ se trouve sur la plage de $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ est le domaine de $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ , $f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$ est l’inverse de $f (x) = - x^{2} - 10 x - 18$ .

$f^{- 1} (x) = - 5 - \sqrt{7 - x}, - 5 + \sqrt{7 - x}$

Étape 5