Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{2} - 9$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ quand $x = 3$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$1$	$0$	$- 9$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$1$	$0$	$- 9$

	$1$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 9$
		$3$
	$1$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$0$	$- 9$
		$3$
	$1$	$3$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 9$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$0$	$- 9$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$0$

Étape 2.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(1) x + 3$

Étape 2.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$x + 3$

Étape 3

Comme $3 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $3$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $3$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ quand $x = - 3$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 3$	$1$	$0$	$- 9$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 3$	$1$	$0$	$- 9$

	$1$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 3$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 3$
	$1$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 3$
	$1$	$- 3$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 3)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- 3$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$	$0$

Étape 4.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(1) x - 3$

Étape 4.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$x - 3$

Étape 5

Comme $- 3 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 3$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 3$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{2} - 9}{x - 9}$ quand $x = 9$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$9$	$1$	$0$	$- 9$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$9$	$1$	$0$	$- 9$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(9)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$9$	$1$	$0$	$- 9$
		$9$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$9$	$1$	$0$	$- 9$
		$9$
	$1$	$9$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(9)$ et placez le résultat de $(81)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$9$	$1$	$0$	$- 9$
		$9$	$81$
	$1$	$9$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$9$	$1$	$0$	$- 9$
		$9$	$81$
	$1$	$9$	$72$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(1) x + 9 + \frac{72}{x - 9}$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$x + 9 + \frac{72}{x - 9}$

Étape 7

Comme $9 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $9$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $9$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{2} - 9}{x + 9}$ quand $x = - 9$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 9$	$1$	$0$	$- 9$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 9$	$1$	$0$	$- 9$

	$1$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 9)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 9$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 9$
	$1$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 9$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 9$
	$1$	$- 9$

Étape 8.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(- 9)$ et placez le résultat de $(81)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- 9$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 9$	$81$
	$1$	$- 9$

Étape 8.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 9$	$1$	$0$	$- 9$
		$- 9$	$81$
	$1$	$- 9$	$72$

Étape 8.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(1) x - 9 + \frac{72}{x + 9}$

Étape 8.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$x - 9 + \frac{72}{x + 9}$

Étape 9

Comme $- 9 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 9$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 9$

Étape 10

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $3, 9$

Bornes inférieures : $- 3, - 9$

Étape 11