Pré-calcul Exemples

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 2$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (2 θ)$ .

$\frac{2 \sin (2 θ)}{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Étape 4.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 1 = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (2 θ)$ par $1$ .

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$2 θ = - \frac{π}{6}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 θ = - \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = - \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$θ = - \frac{π}{12}$

Étape 8

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 9.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{7 π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{7 π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Étape 9.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (2 θ)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Étape 11.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 11.3

Associez les fractions.

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Étape 11.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 11.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Étape 11.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Étape 11.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{11 π}{12}$

Étape 12

La période de la fonction $\sin (2 θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$